Notación polaca

La notación polaca, también conocida como notación prefija, es un tipo de notación creada por Jan Łukasiewicz allá por 1920. En la notación prefija los operadores preceden a los operandos. Esta notación se aplica en lógica, aritmética y álgebra; en el ámbito de la lógica diremos que, en esta notación, las conectivas preceden a las variables.

El alcance de un operador queda determinado por su posición en la fórmula, cuanto más a la izquierda se haye un operador mayor alcance tiene; del mismo modo, la conectiva principal de una fórmula en notación polaca es la situada más a la izquierda.

Este tipo de notación nos evita el uso de símbolos auxiliares (paréntesis, corchetes…) para establecer el alcance de las conectivas, como hacemos con la notación estándar. Esta notación puede leerse sin ambigüedad sin recurrir a estos símbolos.

Por ejemplo, el axioma de no contradicción, que en notación estándar escribimos así: ¬(p ∧ ¬ p), en notación polaca quedaría así: NKpNp.

A continuación se muestra una tabla con las conectivas más comunes en notación estándar y su equivalente en la notación polaca. Las letras corresponden a la primera letra del nombre de la conectiva en polaco.

• Sea α una variable proposicional. α es una fórmula bien formada.
• Sean α, β fórmulas bien formadas. Nα, Cαβ, Kαβ, Aαβ, Eαβ, Mα, Lα son fórmulas bien formadas.

La definición anterior es recursiva.

(1) Lo primero que debemos hacer para traducir una fórmula a notación polaca es buscar la conectiva principial, ésta será la primera conectiva, la situada a la izquierda.

(2) Si la conectiva es binaria, (2a) traducimos el primer argumento hasta sus últimos elementos (en todo su alcance) y a continuación (2b) hacemos lo mismo con el segundo argumento. (3) Si la conectiva es unaria, traducimos su argumento hasta sus últimos elementos.

Por último, (4) si estamos ante una variable, la escribimos a continuación de su conectiva, hemos llegado al final de un argumento. Deberemos repetir estos pasos hasta que ya no queden elementos.

Como ejemplo del procedimiento a seguir vamos a utilizar una instancia de la ley de De Morgan, que en notación estándar escribiríamos así: ¬ (p ∧ q) → (¬ p ∨ ¬ q).

En nuestro ejemplo la conectiva principal es la implicación, una conectiva binaria, y la conectiva principal de su primer argumento es una negación, una conectiva unaria. Tendremos que traducir esta subfórmula repitiendo los pasos 2 y 3 hasta llegar a las variables, y luego hacer lo mismo con el segundo argumento, cuya conectiva principal es una disyunción.

Aquí puede verse una tabla de teoremas representativos de la lógica proposicional clásica, escritos en notación estándar y en notación polaca.